Operazioni tra matrici

Somma tra matrici

Siano A=(aij ) e B=(bij  ) due matrici aventi la stessa dimensione m x n.

Si definisce somma delle matrici A e B, la matrice C = A + B il cui generico elemento è dato da

[Maple Math] [Maple OLE 2.0 Object]

Si tratta in pratica di sommare tra loro gli elementi di ugual posizione di riga e colonna.

Ovviamente se A e B sono m x n anche C è m x n.

Esempio

Si considerino le matrici

A = [Maple Math] B = [Maple Math]

Risulta

C = A + B = [Maple Math]

così ottenuta:

c11=a11+b11= 1 + (-1) = 0

c12=a12+b12 = 0 + 3 = 3

c13=a13+b13= 6 + 7 = 13

c21=a21+b21= -2 + (-1) = -3

c22=a22+b22= 3 + 2 = 5

  c23=a23+b23= (-4) + 9 = 5

Proprietà della somma

Poichè la somma tra matrici si esegue sommando gli elementi di ugual posizione che sono numeri reali, è facile verificare che essa soddisfa le seguenti proprietà:

Proprietà Associativa

Siano A , B , C matrici di dimensione m x n risulta

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

Esempio

Verifichiamo la proprietà associativa rispetto alle seguenti matrici

A = [Maple Math] B = [Maple Math] C = [Maple Math]

Risulta

A + ( B + C ) = [Maple Math] + [Maple Math] = [Maple Math]

( A + B ) + C = [Maple Math] + [Maple Math] = [Maple Math]

da cui A + (B + C)=(A + B) + C

Proprietà Commutativa

Siano A e B matrici m x n risulta

A + B = B + A

Esempio

Verifichiamo la proprietà commutativa rispetto alle matrici

A = [Maple Math] B = [Maple Math]

Risulta

A + B = [Maple Math] + [Maple Math] = [Maple Math]

B + A = [Maple Math] + [Maple Math] = [Maple Math]

da cui A + B = B + A

Esistenza dell'elemento neutro rispetto alla somma

Sia A una matrice m x n, esiste una matrice 0 di dimensione m x n avente tutti gli elementi uguali a zero, detta matrice nulla , tale che

A + 0 = A

la matrice nulla 0 è detta elemento neutro rispetto alla somma.

Esempio

Si consideri la matrice

A = [Maple Math] e la matrice nulla di egual dimensione

risulta

[Maple Math] + [Maple Math] = [Maple Math]

Esistenza dell'opposto

Per ogni matrice A m x n esiste una matrice denotata con -A, tale che A + (-A) = 0

-A è detta matrice opposta di A e si ottiene da A cambiando ordinatamente di segno i suoi elementi

-A = (-ai,j ) "i,"j

Esempio

Si consideri la matrice

A = [Maple Math]

la matrice opposta di A è data da

-A = [Maple Math]

risulta

A + (-A) = [Maple Math] + [Maple Math] = [Maple Math]

esercizio da svolgere ...

Prodotto di una matrice per uno scalare

Dato un numero reale k (detto scalare) ed una matrice A = ( ai,j ), si definisce prodotto della matrice A per lo scalare k la matrice indicata con k A il cui generico elemento è k ai,j

Esempio

Si consideri la matrice

A = [Maple Math] e lo scalare k = 3

k A = [Maple Math]

Osserviamo che (-1) A = -A, ovvero il prodotto tra lo scalare -1 e la matrice A dà come risultato l'opposta di A.

Proprietà del prodotto per uno scalare

Anche nel caso del prodotto per uno scalare è immediato verificare le seguenti proprietà

Per ogni matrice A,B di dimensione m x n e per ogni k,h numeri reali risulta

1) ( k + h ) A = k A + h A

2) k ( A + B ) = k A + k B

3) ( k h ) A = k ( h A)

4) 1 A = A

Osservazione

- Essendo i vettori particolari matrici valgono per essi le stesse operazioni con le relative proprietà

- L'insieme delle matrici m x n dotato delle 2 operazioni di somma e prodotto per uno scalare con le relative proprietà è uno spazio vettoriale

approfondimento

Prodotto tra matrici

Sia A una matrice m x n e B una matrice n x k, si definisce prodotto tra le matrici A e B la matrice C = A B il cui generico elemento ci,j è la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna di B, ovvero

[Maple Math] = [Maple Math]

il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B così definito è detto prodotto scalare .

La matrice prodotto C ha tante righe quante sono le righe di A e tante colonne quante sono le colonne di B.

Osservazione

Per verificare la possibilità di poter moltiplicare la matrice A di ordine p x q con la matrice B di ordine r x s conviene scrivere

(p x q)(r x s)

Si hanno così quattro numeri: 2 esterni (p ed s) e 2 interni (q e r). E' possibile effettuare il prodotto A B se e solo se gli interni coincidono cioè q = r.

In tal caso la matrice C = A B ha per ordine quello individuato dai due numeri esterni presi nell'ordine, cioè p x s.

Il prodotto tra matrici è anche detto prodotto riga colonna .

Esempio

Si considerino le matrici

A = [Maple Math] B = [Maple Math]

Poichè A ha dimensione (2 x 3) e B (3 x 4) è possibile eseguire il prodotto tra queste due matrici e la dimensione di C = A B è (2 x 4).

Vediamo come si determina tale matrice.

L'elemento di posto c11 è dato dal prodotto scalare tra la prima riga di A e la prima colonna di B ovvero:

[Maple Math] = [Maple Math] [Maple Math] = (2·1+1·2+(-1)·(-1)) = 5

--------

c12= (I riga di A)x(II colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = (2·1+1·(-3)+(-1)·(-1)) = 0

--------

c13 = (I riga di A)x(III colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = (2·2+1·1+(-1)·5)) = 0

---------

c14 = (I riga di A)x(IV colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = (2·2+1·3+(-1)·2) = 5

---------

c21 = (II riga di A)x(I colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = ((-2)·1+3·2+4·(-1)) = 0

----------

c22 = (II riga di A)x(II colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = ((-2)·1+3·(-3)+4·(-1)) = -15

----------

c23 = (II riga di A)x(III colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = ((-2)·2+3·1+4·5)) = 19

----------

c24 = (II riga di A)x(IV colonna di B) =

[Maple Math] [Maple Math] = ((-2)·2+3·3+4·2) = 13

Ovvero

C = A B = [Maple Math]

Osservazione

Con riferimento alle matrici A e B dell'esempio precedente non è possibile effettuare il prodotto B A in quanto considerando le dimensioni (3 x 4) (2 x 3) gli interni non coincidono.

E' possibile effettuare sia il prodotto A B che il prodotto B A quando in (p x q) (r x s) coincidono sia gli elementi interni che gli elementi esterni. Risulta però in generale AB¹BA.

Da ricordare:

Il prodotto tra matrici NON E' SEMPRE eseguibile

Se è possibile eseguire il prodotto A B non è detto che si possa eseguire il prodotto B A e quindi bisogna stare attenti all'ordine in cui si deve eseguire la moltiplicazione.

Se due matrici sono quadrate e dello stesso ordine si può eseguire sia il prodotto A B che il prodotto B A ottenendo una matrice quadrata dello stesso ordine, anche in questo caso però il prodotto non è in generale commutativo.

Come mostra il seguente esempio:

si considerino le matrici

A = [Maple Math] B = [Maple Math]

Risulta

AB = [Maple Math]

BA = [Maple Math]

e quindi AB¹BA.

Proprietà del prodotto tra matrici quadrate

Si consideri l'insieme delle matrici quadrate di ordine n, valgono le seguenti proprietà:

Proprietà associativa

A ( B C ) = (A B ) C    " A , B , C

Esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto

La matrice identica I di ordine n è l'elemento neutro rispetto al prodotto.

Risulta infatti

A I = I A = A     " A

Proprietà distributiva

A ( B + C ) = A B + A C     " A , B , C

 

esercizio da svolgere ...