Inversa di una matrice

Come è noto, nell'insieme dei numeri reali si definisce l'inverso o reciproco di un numero a, quel numero che moltiplicato per a dà come risultato 1 ovvero l'elemento neutro rispetto al prodotto.

In modo del tutto analogo si può definire l' inversa di una matrice quadrata.

Sia A una matrice quadrata di ordine n.

Si definisce matrice inversa di A o più semplicemente inversa di A e si indica con il simbolo   A-1 la matrice quadrata (se esiste) di ordine n tale che

A A-1 = A-1 A = I

Se una matrice A ha inversa allora A è detta invertibile o non singolare

Mentre per un numero reale esiste una semplice regola per verificare l'esistenza del suo inverso e per determinarlo ( a ha inverso [Maple OLE 2.0 Object] ; l'inverso di a è 1/a), non è altrettanto facile stabilire l'invertibilità di una matrice.

A tale riguardo la definizione di inversa non fornisce nessun elemento utile, se non per casi particolari quali ad esempio i seguenti:

- Se una matrice ha una riga di zeri (ad esempio la prima riga), il prodotto tra tale matrice ed una qualsiasi altra dello stesso ordine produrrà sempre la prima riga tutta nulla di conseguenza una tale matrice non è invertibile in quanto la definizione di inversa richiede che in ogni riga ci sia un elemento uguale ad 1.

 

Esempio

Si consideri la matrice A = [Maple Math] e una qualsiasi matrice B dello stesso ordine, ad esempio B = [Maple Math] .

Risulta AB = [Maple Math] diverso da [Maple Math] e quindi A non è invertibile.

- Se una matrice è diagonale allora è invertibile se e solo se gli elementi [Maple Math] sulla diagonale sono non nulli; in tal caso l'inversa è ancora una matrice diagonale con elementi uguali [Maple Math] .

Esempio

Si consideri la matrice diagonale

D = [Maple Math]

risulta

[Maple OLE 2.0 Object] = [Maple Math]

Infatti

[Maple OLE 2.0 Object]

Si osservi inoltre che anche se una matrice ha elementi tutti diversi da zero non è detto che sia invertibile come mostra il seguente

Esempio

Sia

A = [Maple Math]

Verifichiamo utilizzando la definizione che la matrice A non è invertibile, ovvero che non esiste una matrice B tale che A B = B A = I. Denotiamo con B = [Maple Math] la matrice cercata.

Risulta

[Maple Math] [Maple Math] = [Maple Math]

se e solo se x , y , z , t verificano i seguenti sistemi:

[Maple OLE 2.0 Object] [Maple OLE 2.0 Object]

Poichè il primo membro della seconda equazione è il doppio della prima, il sistema risulta impossibile e quindi A non ammette inversa.

Per comprendere come si arriva a determinare condizioni di invertibilità, si consideri una matrice generica di dimensioni 2 x 2

A = [Maple Math]

E' possibile dimostrare che:

Teorema

La matrice A è invertibile se e solo se a11a22- a21a12   ¹ 0,

In tal caso la matrice inversa di A è

[Maple OLE 2.0 Object]

Uno sguardo alla matrice ottenuta fa comprendere una semplice regola di calcolo: per trovare l'inversa di A (2 x 2) basta scambiare tra loro gli elementi sulla diagonale principale, cambiare di segno gli altri elementi e dividere tutto per il numero

a11a22- a21a12 chiamato determinante di A.

DIMOSTRAZIONE

Determinante di una matrice di ordine n

In generale ad ogni matrice quadrata è possibile associare un numero reale detto determinante, indicato in generale con il simbolo |A| oppure det A, che permette di stabilire l'invertibilità o meno di una matrice.

Il calcolo di questo numero è effettuato tramite il cosiddetto sviluppo di Laplace che può essere eseguito rispetto ad una qualsiasi riga oppure rispetto ad una qualsiasi colonna.

Sviluppo di Laplace (rispetto alla riga i-esima)

La formula dello sviluppo di Laplace rispetto alla riga i-ma di una matrice A di ordine n è la seguente:

|A| = [Maple Math]aijdet Aij  

dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-ma riga e la j-ma colonna.

Il determinante det Aij è detto minore complementare dell'elemento aij ;

il prodotto   (-1)i+jdet Aij è detto complemento algebrico .

In base a tale nomenclatura possiamo dire che:

Primo teorema di Laplace: il determinante di una matrice quadrata A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Esempio

Si consideri la matrice

A = [Maple Math]

Calcoliamo il determinante sviluppando rispetto alla prima riga, ovvero

det A = (-1)1+11·det A11+ (-1)1+20 ·det A12 + (-1)1+31·det A13

da cui

det A = det [Maple Math] - 0· det [Maple Math] + 1 ·det [Maple Math]

ovvero il calcolo del determinante di A è ricondotto al calcolo di 3 determinanti 2 x 2.

Si ottiene così

det A = (1)(1)(1·1 - 4·3) + (-1)(0)(2·1 - 0·3) + (1)(1)(2·4 - 0·1) = 1 -12 + 0 + 8 = -3

Verifichiamo che applicando lo sviluppo di Laplace rispetto ad un'altra riga ad esempio la terza, si ottiene lo stesso numero.

Si ha

det (A) = (-1)3+10·det A31+ (-1)3+2 4 ·det A32 + (-1)3+31·det A33 =

= -4 det [Maple Math] + det [Maple Math] = - 4 + 1 = - 3

Sviluppo di Laplace rispetto ad una colonna

Si può dimostrare che lo sviluppo di Laplace rispetto ad una qualsiasi colonna individua sempre il determinante ovvero:

|A| = [Maple Math] aijdet Aij  

Si ha così:

Secondo teorema di Laplace: il determinante di una matrice (quadrata) A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Osservazione

Il calcolo del determinante di una matrice di dimensione 4 x 4 , sviluppando ad esempio rispetto alla prima riga, è pari a:

det A= a11 det A11 - a12 det A12 + a13 det A13 - a14 detA14

dove adesso le sottomatrici A11 , A12 , A13 ,A14 sono di dimensioni 3 x 3 quindi per completare il calcolo dobbiamo riapplicare lo sviluppo di Laplace a tali sottomatrici.

Ovviamente nel selezionare una riga o una colonna per applicare lo sviluppo di Laplace si sceglierà quella che contiene il maggior numero di zeri allo scopo di ridurre al minimo i calcoli necessari.

In ogni caso per matrici di grandi dimensioni il numero dei calcoli diviene enorme e il tempo richiesto per eseguirli può diventare lungo anche per un elaboratore elettronico.

Come vedremo, però il determinante gode di diverse proprietà alcune delle quali particolarmente utili per il calcolo del determinante stesso.

Considerazioni sullo sviluppo di Laplace

Riassumendo se ad esempio A è di dimensione 5 x 5 si devono calcolare (in generale) 5 determinanti di matrici di dimensioni 4 x 4. Il calcolo di tali determinanti comporta il calcolo di 4 determinanti di matrici di dimensioni 3 x 3, ovvero 20 determinanti di matrici di dimensioni 3 x 3.

A sua volta ogni calcolo di un determinante di una matrice di dimensione 3 x 3 comporta il calcolo dei determinanti di 3 matrici di dimensione 2 x 2 .

Quindi per calcolare il determinante di una matrice di dimensione 5 x 5 si devono calcolare 60 (5•4•3) determinanti di matrici di dimensioni 2 x 2.

Regola di Sarrus

Nel caso di una matrice quadrata di ordine 3, è possibile calcolare il determinante con la regola di Sarrus:

si accostano alla terza colonna della matrice la prima e la seconda colonna, ovvero:

[Maple Math]

Quindi si esegue la somma dei prodotti degli elementi situati sulle diagonali di colore blu e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi situati sulle diagonali di colore rosso, ovvero

det A = [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] + [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] + [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] +

- [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] - [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] - [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

la regola di Sarrus è valida solo per matrici di dimensioni 3 x 3 !

Esempio

Calcolare con la regola di Sarrus il determinante della matrice

A = [Maple Math]

si ha

[Maple Math]

quindi

det A = -10 + 0 + 24 - 4 - 3 - 0 = 7

Proprietà del determinante

Sia A una matrice quadrata di ordine n

Proprietà 1

Se [Maple OLE 2.0 Object] è la matrice ottenuta da A moltiplicando una colonna (riga) per uno scalare k allora [Maple OLE 2.0 Object]

Proprietà 2

Sia A = ( [Maple OLE 2.0 Object] ) una matrice quadrata di ordine n dove [Maple OLE 2.0 Object] denotano le colonne di A. Sia [Maple OLE 2.0 Object] la matrice ottenuta da A aggiungendo alla k-ma colonna un vettore [Maple OLE 2.0 Object] ovvero [Maple OLE 2.0 Object] .

Risulta [Maple OLE 2.0 Object]

Una analoga proprietà vale per le righe di una matrice.

Proprietà 3

Se A ha due colonne (righe) uguali allora det A = 0

Proprietà 4

Il determinante della matrice identica di ordine n è uno ovvero det I = 1

Le proprietà 1 , 2 , 3 , 4 permettono di determinare altre importanti proprietà, alcune delle quali sono sotto riportate, e di stabilire l'unicità del determinante. Si può verificare che lo sviluppo di Laplace rispetto ad una qualsiasi riga o colonna fornisce un numero che verifica le proprietà 1 , 2 , 3 , 4 , quindi tale numero per l'unicità, è necessariamente il determinante.

Si giustifica così il fatto che il calcolo di un determinante è indipendente dalla scelta della riga o della colonna nello sviluppo di Laplace.

Proprietà 5

Se una colonna (riga) di A è formata da elementi nulli allora det A = 0.

Proprietà 6

Se [Maple OLE 2.0 Object] è la matrice ottenuta da A scambiando tra loro due colonne (righe) adiacenti allora [Maple OLE 2.0 Object] .

Proprieta 7

Se si addiziona ad una colonna (riga) un multiplo scalare di un'altra, il valore del determinante non cambia.

Proprietà 8

det AT  = det A

Le proprietà 1 - 2 - 3 - 4 garantiscono l'unicità del determinante.

 

Casi particolari

Se A è una matrice diagonale o triangolare superiore o triangolare inferiore allora il determinante di A è dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale principale, ovvero:

det A = a11a22 a33...ann

Teorema di Binet

Vediamo adesso come si comporta il determinante rispetto alle operazioni di somma e prodotto tra matrici quadrate.

Mentre non vi è nessuna relazione che lega il determinante di una somma di due matrici con i determinanti delle singole matrici, per il prodotto si ha il seguente teorema.

Teorema di Binet

Siano A e B matrici di qualsiasi ordine. Allora det AB = det A·det B

esercizio da svolgere ...

Esistenza e proprietà dell'inversa di una matrice

Vediamo adesso come l'introduzione del determinante permette di caratterizzare l'invertibilità di una matrice. Vale il seguente teorema

Teorema

Sia A una matrice quadrata di ordine n,

A è invertibile se e solo se detA¹ 0 .

Inoltre se detA¹ 0 allora gli elementi cij di A-1 sono dati da

[Maple OLE 2.0 Object]

dove la matrice Aji è la matrice ottenuta da A cancellando la j-ma riga e la i-ma colonna

Osservazione

Il precedente teorema permette di ritrovare le regole di calcolo relative alla determinazione dell'inversa di una matrice 2 x 2 e di una matrice diagonale

Proprietà della matrice inversa

Sia A una matrice quadrata di ordine n

Proprietà 1

Se esiste l'inversa di A essa è unica

dimostrazione

Proprietà 2

Se esiste una matrice B tale che A B = I (oppure B A = I) allora B è l'inversa di A ovvero

[Maple OLE 2.0 Object] .

dimostrazione

Proprietà 3

Se A è invertibile di ordine n, allora l'inversa di A-1 coincide con A ovvero

[Maple OLE 2.0 Object] .

dimostrazione

Proprietà 4

Siano A e B due matrici invertibili di ordine n, risulta allora che

[Maple OLE 2.0 Object]

dimostrazione