Autovalori di una matrice quadrata

Si consideri la seguente matrice 2X2 [Maple Math]

Risulta

[Maple Math] [Maple Math] = [Maple Math] ; [Maple Math] [Maple Math] = [Maple Math]

La matrice può essere interpretata come una funzione di [Maple OLE 2.0 Object] in [Maple OLE 2.0 Object] ;

il vettore [Maple Math] ha per immagine il vettore [Maple Math]

mentre il vettore [Maple Math] ha per immagine il vettore [Maple Math] ;

in generale il vettore [Maple Math] ha per immagine il vettore

[Maple Math] = [Maple Math] [Maple Math]

Se consideriamo il vettore [Maple Math] ed il suo trasformato [Maple Math] possiamo osservare che i due vettori non sono tra loro proporzionali, mentre lo sono i vettori [Maple Math] [Maple Math] per i quali risulta [Maple Math] = 2 [Maple Math] o, equivalentemente,

[Maple Math] [Maple Math] = 2 [Maple Math] 

In questa particolare situazione diremo che l = 2  è un autovalore della matrice A, mentre [Maple Math]è un suo autovettore .

In generale, data una matrice quadrata A di ordine n, diremo l un suo autovalore se esiste un vettore v¹0 tale che Av=lv.

v  è anche detto autovettore associato all'autovalore l .

Si osservi che un tale autovettore non è unico;

infatti se Av= lv risulta anche A(kv)= l(kv), per cui anche kv è un autovettore per ogni k reale.

Nascono in modo naturale le seguenti questioni:

- come stabilire se una matrice ha o no autovalori ?

- quanti autovalori può avere una matrice ?

Per rispondere a tali quesiti osserviamo che l è un autovalore se e solo se il sistema lineare Av= lv ha soluzioni non tutte nulle.

Tale sistema può essere scritto nella forma A v - lI v = 0, dove I è la matrice identica, ovvero (A - lI) v = 0. Si ottiene così un sistema omogeneo avente un numero di equazioni pari al numero delle incognite.

Ricordando che un tale sistema ha soluzioni non nulle se e solo se il determinante della matrice A- lI è nullo e osservando che det(A - lI) è un polinomio di grado n in l , detto polinomio caratteristico , si ha il seguente

Teorema

Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli le radici del polinomio caratteristico det(A- lI).

Tale Teorema dà una risposta ai quesiti posti:

- un polinomio di grado n può non avere radici reali mentre ha sempre n radici complesse non necessariamente distinte. Quindi una matrice quadrata di ordine n ha sempre n autovalori complessi non necessariamente distinti.

L'insieme dei autovalori di una matrice è detto Spettro della matrice; il massimo modulo degli autovalori è detto raggio spettrale .

Esempio

Si consideri la seguente matrice A= [Maple Math]

Risulta A- lI = [Maple Math]

da cui det (A - lI) = (1 - l) (4 - l) + 2 = 0, l2 - 5l + 6 = 0, l = 2, 3.

Lo spettro di A è l'insieme {2,3} e il raggio spettrale è 3.

La matrice A ha dunque due autovalori reali e distinti.

Calcoliamo adesso gli autovettori associati all'autovalore l = 2; si deve risolvere il sistema

[Maple OLE 2.0 Object]

E' facile verificare che l'insieme delle soluzioni è la retta x = 2y

ovvero è costituito dall'insieme dei vettori del tipo k(2,1) , k reale.

In modo analogo per l =3 si trova che gli autovettori sono i vettori del tipo k(1,1), k reale.

Esempio

Si consideri la seguente matrice A= [Maple Math]

Risulta A- lI [Maple Math] ,

da cui det(A- lI) = (1- l)(3- l)+1 =0,

l2-4 l +4=0 , ( l -2)2 = 0,

Ne consegue che l = 2 è l'unica radice reale avente molteplicità 2.

Lo spettro di A è costituito da un solo elemento {2}; 2 è ovviamente anche il raggio spettrale.

La matrice A ha dunque due autovalori reali coincidenti.

Per calcolarne gli autovettori si deve risolvere il sistema

[Maple OLE 2.0 Object]

E' facile verificare che l'insieme delle soluzioni è la retta x = y ovvero è costituito dall'insieme dei vettori del tipo k(1,1) , k reale.

 

Esempio

Si consideri la seguente matrice A= [Maple Math]

Risulta A- lI = [Maple Math] , da cui det(A- lI) = l2 +1=0, l2 = -1.

Tale equazione non ha soluzioni reali mentre ha due radici complesse coniugate l = i, l = -i.

Lo spettro di A è l'insieme {i, -i}, ed il raggio spettrale è 1.

La matrice A ha dunque due autovalori complessi e distinti.

Ovviamente gli autovettori associati ad autovalori complessi sono a loro volta complessi e quindi ne omettiamo il calcolo.

 

Esempio

Si consideri la matrice A = [Maple Math] .

Risulta A - lI = [Maple Math] da cui det (A - l I) = (1 - l )( l2 + 1)=0.

Le soluzioni sono l =1, i, -i.

La matrice A ha quindi un autovalore reale e due autovalori complessi coniugati.

Lo spettro di A è l'insieme {1, i, -i} ed il raggio spettrale è 1.

Gli esempi precedenti evidenziano il fatto che una matrice può avere sia autovalori complessi che reali.

Una classe particolari di matrici per le quali gli autovalori sono sempre reali è quella delle matrici simmetriche.

Per tale classe di matrici si hanno le seguenti proprietà:

Proprietà

Sia A una matrice simmetrica di ordine n.

Risulta:

i) Gli autovalori di A sono tutti reali.

ii) Autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono tra loro ortogonali.

Per le matrici quadrate di ordine 2 è facile avere una completa caratterizzazione in termini di autovalori.

Sia A = [Maple Math] ;

si ha A - lI = [Maple Math] ,

da cui det(A - lI) = (a - l)(d - l) - bc.

Con semplici calcoli si ha:

det(A - l I)= l2 - (a + d)l + ad - bc.

La somma a + d è detta traccia della matrice A e denotata con trA mentre ad-bc è il suo determinante. Di conseguenza le radici del polinomio caratteristico sono le radici dell'equazione

l2 - trA l + det A = 0

L'equazione ha soluzioni reali se e solo se

 [Maple OLE 2.0 Object]

Se la matrice è simmetrica, cioè b=c, si ha [Maple OLE 2.0 Object] in quanto somma di due quadrati.

Si ritrova così la proprietà delle matrici simmetriche.

In particolare:

se D >0 si hanno due autovalori reali e distinti;

se D=0 si hanno due autovalori reali e coincidenti;

se D<0 si hanno due autovalori complessi coniugati.

Esempio

Sia A = [Maple Math] .

Essendo A simmetrica esistono sicuramente autovalori reali.

Risulta trA=5 , detA= 0, e quindi gli autovalori sono le radici dell'equazione

l2- trAl + detA = l2 -5l = 0

da cui l = 0, 5.

Gli autovettori associati ad l=0 sono le soluzioni del sistema

[Maple OLE 2.0 Object]

e sono quindi costituiti da tutti gli elementi del tipo k(2, -1), k reale.

Gli autovettori associati ad l=5 sono le soluzioni del sistema

[Maple OLE 2.0 Object]

e sono quindi costituiti da tutti gli elementi del tipo k(1, 2), k reale.

Si osservi che gli autovettori (1, 2) e (2, -1) sono tra loro ortogonali in quanto il loro prodotto scalare è nullo.